初二几何题 速度!

已知:如图,D是BC上一点,P是AD上一点,∠ABP=∠ACP,∠BPD=∠CPD.

求证:(1)BD=CD (2)AD⊥BC

1.因为∠BPD=∠CPD，则∠ABP+∠BAP=∠ACP+∠CAP,所以∠ABP=∠ACP,AP为公共边，利用定理AAS可证三角形ABP全等于三角形ACP,可得BP=CP,PD为公共边,利用ASA证明三角形PBD与三角形PCD全等,BD=CD

2.有（1）可证三角形ABC是等腰三角形，点D是BC中点,再利用等腰三角形三线合一证得AD⊥BC

∠BPD=∠BAD+∠ABP

∠CPD=∠CAD+∠ACP(三角形外角=不相邻两个内角和)

∵∠BPD=∠CPD①，∠ABP=∠ACP②，∴∠BAD=∠CAD③

又AP=AP④，由②③④得，△ABP≌△ACP(AAS)，∴BP=CP⑤

又PD=PD⑥，由⑤①⑥得，△BPD≌△CPD(SAS)，∴BD=CD……结论(1)，∠ADB=∠ADC

∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC