已知an+1-an=3^n+1,求{an}的通项公式 详细步骤
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解决时间 2021-04-09 00:44
- 提问者网友：兔牙战士
- 2021-04-08 16:46
已知an+1-an=3^n+1,求{an}的通项公式 详细步骤
最佳答案
- 五星知识达人网友：你可爱的野爹
- 2021-04-08 18:10
a(n＋1)－a(n)=3^n＋1
则：
a(n)－a(n－1)=3^(n－1)＋1
当n≥2时，有：
a2－a1=3＋1
a3－a2=3²＋1
a4－a3=3³＋1
……
a(n)－a(n－1)=3^(n－1)＋1
上述等式相加，得：
a(n)－a1=[3＋3²＋3³＋…＋3^(n－1)]＋n
a(n)－a1=(1/2)[3^(n)－3]＋n (n≥2)
1、将a1的值代入，得到：a(n)=(1/2)[3^(n)－3]＋n＋a1 (n≥2)
2、得到的是当n≥2时的表达式，注意a1需要再次确认。
则：
a(n)－a(n－1)=3^(n－1)＋1
当n≥2时，有：
a2－a1=3＋1
a3－a2=3²＋1
a4－a3=3³＋1
……
a(n)－a(n－1)=3^(n－1)＋1
上述等式相加，得：
a(n)－a1=[3＋3²＋3³＋…＋3^(n－1)]＋n
a(n)－a1=(1/2)[3^(n)－3]＋n (n≥2)
1、将a1的值代入，得到：a(n)=(1/2)[3^(n)－3]＋n＋a1 (n≥2)
2、得到的是当n≥2时的表达式，注意a1需要再次确认。
全部回答
- 1楼网友：三千妖杀
- 2021-04-08 18:22
解：
a(n+1)-an=3ⁿ-n
an-a(n-1)=3^(n-1) -(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)-(n-2)
…………
a2-a1=3 -1
累加
an -a1=3+3²+...+3^(n-1) -[1+2+...+(n-1)]
=3×[3^(n-1) -1]/(3-1) -n(n-1)/2
=(3ⁿ-3)/2 -n(n-1)/2
an=a1+(3ⁿ -3)/2 -n(n-1)/2=(3ⁿ-n²+n-1)/2
n=1时，a1=(3-1+1-1)/2=2/2=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=(3ⁿ-n²+n-1)/2。
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