【数学题】已知,如图所示Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与A

【数学题】已知,如图所示Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与A

(1) 连接DE,因为OA=OD=OE,三角形内角和关系,∠ADE=90°,则DE平行BC,∠EDB=∠CBD=∠A,所以∠ODB=90°,所以是相切关系.(2) 设AD长为8a,则AO=5a,AE=10a.三角形AED相似与三角形BDC,BC:BD=AD:AE=4:5所以BD=2.5======以下答案可供参考======供参考答案1:（1）连接OD．证直线与圆相切，即证BD⊥OD．由∠CBD+∠CDB=90°，∠CBD=∠A=∠ODA，可得∠ODA+∠CDB=90°．根据平角定义得证；（2）即求圆的半径求解．连接DE，则∠ADE=90°．在Rt△BCA中，∠CDB=∠A=∠ABD，得∠A=30°．从而在△ADE中利用三角函数求解．（1）直线BD与⊙O相切． （1分）证明：如图1，连接OD． （2分）∵OA=OD，∴∠A=∠ADO． （3分）∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°又∵∠CBD=∠A，（5分）∴∠ADO+∠CDB=90°，∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°．∴直线BD与⊙O相切． （6分）（2）连OD、DE．∵AD=BD，∴∠A=∠DBA． （7分）在Rt△BDC中，∵∠C=90°，∠CBD=∠A=∠DBA，∴3∠A=90°，即有∠A=30°． （8分）由tan∠A=DEAD，得DE=AD•tan30°=2×33=233．（10分）又∠DOE=60°，OD=OE，∴△DOE为等边三角形，∴OD=DE=233． （10分）即⊙O的半径r=OD=233，故⊙O的面积S=πr2=4π3． （12分）

收益了