已知a，b是不相等的两个正数，求证（a+b）（a^3+b^3）>(a^2+b^2)^2

已知a，b是不相等的两个正数，求证（a+b）（a^3+b^3）>(a^2+b^2)^2

将括号打开得左侧a^4+b^4+ab^3+ba^3， 右侧 a^4+b^4+2a^2b^2 不等号两侧同时将a^4+b^4去掉得 左侧ab^3+ba^3 右侧2a^2b^2 a和b为不等正数ab也不为零，将上步不等号两侧同时除以ab得 左侧a^2+b^2 右侧2ab 右侧也移至左侧得a^2+b^2-2ab=(a-b)^2>0 即上步左侧大于右侧，即原不等式得证。

(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)(a2+b2) 也就是证明(a+b)(a3+b3)-(a2+b2)(a2+b2)>0 展开然后化简得 ab3+a3b-2a2b2>0 因为ab都是正数，同时约去一个ab 得b2+a2-2ab>0 (b-a)2>0 因为a、b不相等，又是平方，结果只能大于0  0

(a+b)(a^3+b^3)-(a^2+b^2)^2

=a^4+b^4+ab^3+ba^3-a^4-b^4-2a^2b^2

=ab(a^2+b^2)-2a^2b^2

=ab(a^2+b^2-2ab)

=ab(a-b)^2

>0

所以原不等式成立