求证f(x)= - x^3在R上是减函数

任取a<b,则f(a)-f(b)=b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)

显然b-a>0,若ab>=0则a^2+ab+b^2>0若ab<0,因为b^2+2ab+a^2>=0,所以a^2+ab+b^2>0

所以f(a)>f(b),所以在R上递减

①求导

f(x)'= - 3x^2≤0

所以得证

②

设x1，x2∈R，且x1<x2

f(x1)-f(x2)= x2^3-x1^3=(x2-x1)(x2^2+x1*x2+x1^2)=(x2-x1)((x2+1/2*x1)^2+3/4*x1^2)

因为

x1<x2，x2-x1>0

(x2+1/2*x1)^2+3/4*x1^2>0

所以

(x2-x1)((x2+1/2*x1)^2+3/4*x1^2)>0

即：

f(x1)-f(x2)>0

f(x1)>f(x2)

故：得证

f(x)= - x^3 f'(x)= -3x^2小于等于0所以 在R上是减函数

设x1,x2属于R,且x1>x2

f(x1)-f(x2)=-x1^3-(-x2^3)

=-x1^3+x2^3

因为x1>x2

所以x1^3>x2^3

所以-x1^3+x2^3<0

即f(x1)-f(x2)<0

所以f(x)= - x^3在R上是减函数

设x1<x2

F(1)-F(2)=x2^3-x1^3

=(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)