三次曲线的三次曲线的定义及发现

三次曲线的三次曲线的定义及发现

它是用三元三次齐次方程在射影平面上的零点集来定义的：F(x,y,z)=0, deg F=3.
一般来说，应用齐次坐标，三次曲线有以下几项组成：
x3,y3,z3,x2y,x2z,y2x,y2z,zx3,z2y,xyz. 即：ax3+bx2y+cxy2+dy3+ex2+fxy+gy2+hx+iy+j= 0
图为4x3- ax2y +9xy2-9y3-36x +36y +10b =0光滑的三次曲线是亏格1曲线， 所以也是椭圆曲线。在牛顿之前，也没有人能够像把非退化二次曲线分成椭圆、双曲线与抛物线那样对三次曲线分类。牛顿从1664年起试图追随笛卡儿按方程次数对曲线分类的思路来解决这一课题。1667—1668年和1678—1679年间，他又两度回到高次曲线的研究并获重大进展。但如其一贯所为，牛顿迟疑于结果的发表，直到1695年，他才将以前的结果总结成专论《三次曲线枚举》(Enumeratio linearum tertii ordinis)并作为《光学》的附录发表(1704)。