1³+2³+3³+......100³等于几？求过程！！！！！

这道问题是有规律的，请仔细思考！！！

正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=(1+2+……+n)^2

(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

　...................

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

　　.

　　于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

　　左边=(N+1)^4-1

　　右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

　　所以呢

　　把以上这已经证得的三个公式代入

　　4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

　　得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

　　移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

　　等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

　　即

　　1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

稍加整理

得到

0.25[N(N+1)]²=[0.5n(n+1)]²=(1+2+3+...+n)²

那么本题中

1³+2³+3³+......100³=(1+2+...+100)²=5050²=25502500

我给出自己的公式化简版本

n(n+1)(2n+1)/6 方法有很多种，这里就介绍一个我觉得很好玩的做法 想像一个有圆圈构成的正三角形， 第一行1个圈，圈内的数字为1 第二行2个圈，圈内的数字都为2， 以此类推 第n行n个圈，圈内的数字都为n， 我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r 下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形 再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形 然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加， 我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1 而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和 1+2+……+n=n(n+1)/2 于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1) r=n(n+1)(2n+1)/6

先证明公式:1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

证明:

(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

n^3=((n+1)^4-n^4-6*n^2-4*n-1)/4

原式=1^3+2^3+3^3+...+n^3

=(2^4-1^4-6*1^2-4*1-1)/4+(3^4-2^4-6*2^2-4*2-1)/4+...+((n+1)^4-n^4-6*n^2-4*n-1)/4

=[(n+1)^4-1^4-6*(1^2+2^2+...+n^2)-4*(1+2+...+n)-n]/4

=[(n+1)^4-1-6*(1^2+2^2+...+n^2)-4n(n+1)-n]/4

=[(n+1)^4-2n(n+1)-n-1-6*(1^2+2^2+...+n^2)]/4

(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1

n^2=[(n+1)^3-n^3-3*n-1]/3

1^2+2^2+...+n^2

=(2^3-1^3-3*1-1)/3+(3^3-2^3-3*2-1)/3+...+[(n+1)^3-n^3-3*n-1]/3

=[(n+1)^3-1-3*(1+2+..+n)-n]/3

=[(n+1)^3-1-3n(n+1)/2-n]/3

带入原式的

原式={(n+1)^4-2n(n+1)-n-1-2*[(n+1)^3-1-3n(n+1)/2-n]}/4

=[(n+1)^4-2(n+1)^3+n(n+1)+n+1]/4

=[(n+1-2)*(n+1)^3+n^2+2n+1]/4

=[(n^2-1)*(n+1)^2+(n+1)^2]/4

=[n(n+1)/2]^2

设S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + …… + 99³ + 100³ (n + 1)^4 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 n^4 = (n - 1)^4 + 4(n - 1)^3 + 6(n - 1)^2 + 4(n - 1) + 1 ……………………

2^4 = 1^4 + 4*1^3 + 6×1^2 + 4×1 + 1 结合自然数逐项平方和公式s2 = (1/6)n(n + 1)(2n + 1) 与自然数逐项求和公式:s1 = 1/2n(n + 1)逐式相加得： (n+1)^4=1 + 4S + 6(1/6)n(n + 1)(2n + 1) + 4(1/2)n(n + 1) + n 整理既得，S = [(1/2)n(n + 1)]^2 = s1^2 = 5050^2 = 25502500

1³=1²

1³+2³=3²

1³+2³+3³=6²

    .

    .

    .

1³+2³+3³+......100³=5050²=25502500