如图,已知三角形abc,ab等于6,ac等于8,点d是bc上一动点,以ad为直径的圆心o分别交a

如图,已知三角形abc,ab等于6,ac等于8,点d是bc上一动点,以ad为直径的圆心o分别交a

（1）
证明：
连接DF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD=90°，
∴∠C+∠FDC=90°（三角形外角等于不相邻两个内角和），
∵∠AEF=∠ADF（同弧所对的圆周角相等），
  ∠AEF=∠C，
∴∠ADF=∠C，
∴∠ADF+∠FDC=∠C+∠FDC=90°，
即∠ADC=90°，
∴BC是⊙O的切线。

（2）
当BD=5时，△AEF∽△ABC。
解：【推出BD=5】
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=10（根据勾股定理），
∵∠EAF=90°，
∴EF是⊙O的直径，
若△AEF∽△ABC，
则∠AEF=∠B，
∴EF//BC，
∴AE/BE=AF/FC=AO/OD=1/1,
∴AE=3，AF=4，则EF=5，
∵OE是△ABD的中位线，
∴BD=2OE=EF=5 。
【此题解法很多】

【证明：当BD=5时，△AEF∽△ABC】
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=10，
∵BD=5，
∴AD是Rt△ABC的斜边中线，
∴AD=BD=5，
∴∠B=∠BAD，
∵∠EAF=90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴EF和AD交于O，
∵OA=OE，
∴∠AEF=∠BAD，
∴∠B=∠AEF
又∵∠EAF=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC（AA）。